Boa noite!

Porque esta é uma equação de Euler que tem a forma:

an*x^n*y(n) + an−1*x^n−1*y^(n−1) + ··· + a1*y′ + a0*y = 0

Assim, cada parcela da soma de cima é constituído por produto de uma constante numérica, por um monómio de grau k e pela k-ésima derivada de y. Ao multiplicar-se por t, obrigamos a que todos as parcelas tenham um monómio de grau igual à ordem da derivada. No caso a 1ª parcela fica com um monómio de grau 2 (x^2) a multiplicar pela 2ª derivada de y e a 2ª parcela é constituída por um monómio de grau 1 (x) a multiplicar pela 1ª derivada de y, ou seja o grau do monómio é o mesmo que a ordem da derivada em todas as parcelas. Assim obtemos a equação de Euler na sua forma canónica.

Todas as escolhas das operações elementares estão corretas. Há apenas alguns erros de cálculo. No fim, deves indicar que a inversa é a matriz que obtiveste do lado direito.

Está perfeitamente correto. Há casos onde o termo não corresponde ao grau, mas neste caso sim. Continua!

Desta forma?

Depois aplico a regra de sarrus

Para anular o -1, basta multiplicar toda a linha 2 por -1, ficando esta com os valores 0 1 -1 2 0 -1.

Entretanto, em baixo na imagem, vem a correção de um pequeno erro. Penso que terá sido apenas um esquecimento.

a terceira coordenada do vetor AB é h(t)-h(t) = 0. Assim a terceira coordenada de r(t)=OB é h(t). Consequentemente, a terceira coordenada de v(t) é 0,5. O resto está perfeito.

Falta um passo. Para um vetor ser perpendicular a um plano, tem de ser perpendicular a dois vetores não colineares do plano. Tu provaste apenas que o vetor AC era perpendicular a AB (vetor do plano), falta provar que AC tb é perpendicular por exemplo a BD (vetor do plano não colinear com AB). Apesar de não podermos conhecer o vetor BD, conhecemos a sua direção, que é a vertical. Assim, BD tem a direção do vetor (0,0,1).

E AC . (0,0,1) = (-4,-8,0) . (0,0,1) = 0 + 0 + 0 = 0. Assim, AC é perpendicular a (0,0,1) e consequentemente a BD que tem a mesma direção de (0,0,1). Logo se AC é perpendicular a AB e BD, é perpendicular ao plano ABD.